Drivtømmer erzählt die Geschichte des jungen Mannes Axel, der nach einem Onenightstand mit einer ungewollten Schwangerschaft konfrontiert wird. Axel lernt Lene in Kopenhagen kennen. Was als Liebesgeschichte beginnt, wandelt sich zu einem Desaster. Lene sucht Axel in Hamburg auf und konfrontiert ihn mit ihrer Schwangerschaft. Axel will nicht Vater werden, während Lene das Kind behalten möchte. Lene beschliesst, alleine zu entscheiden, was mit dem Kind geschieht und reist zurück nach Dänemark.
Axel stellt fest, dass er auf die Entscheidung über das Kind keinen Einfluss hat und reist Lene nach. Der Film mündet in einen Roadmovie. Axel verpasst Lene ständig und während beide durch Dänemark reisen, verändert sich bei beiden Rollen ihr Haltung. Während Axel seine Rolle als werdender Vater reflektiert, kommen bei Lene immer mehr Zweifel auf, das Kind zu behalten.
Das Desaster ist nicht mehr abzuwenden und als Axel schliesslich auf Lene trifft, hat sie das Kind abgetrieben.